Cảm ơn bạn đã ghé thăm Tuyển Sinh Blog. Hẳn bạn đang muốn bảng công thức nguyên hàm để tiện tra cứu cũng như vận dụng khi làm bài tập. Bài này sẽ hệ thống các công thức nguyên hàm thành một bảng như vậy. Dưới đây là 35 công thức quan trọng hay dùng:
Mục Lục
1. Công thức nguyên hàm căn bản
Tuyển sinh sẽ sắp xếp chi tiết từ những công thức căn bản nhất trong sách giáo khoa tới những công thức được suy ra nhưng tuyệt đối quan trọng:
7 công thức cơ bản cần nhớ
9 công thức phân thức quan trọng
8 công thức nguyên hàm mũ cần nhớ
12 nguyên hàm lượng giác
Tất nhiên rồi, với 35 công thức quan trọng trên bạn có thể mở rộng thêm nhiều công thức khác như nhiều sách tham khảo đã viết. Trong giai đoạn đầu học thì bạn chỉ cần nhớ thật chính xác 35 công thức này, khi đã nhớ rõ thì bạn có thể học nhớ cac công thức khác hoặc không cũng không sao.
Để giúp bạn nhớ tốt và hiểu hơn ta có thể làm vài bài tập nguyên hàm sau
2. Bài tập nguyên hàm
Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right)=\tan x\left( 2\cot x-\sqrt{2}\cos x+2{{\cos }^{2}}x \right)$ có nguyên hàm là $F\left( x \right)$ và $F\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{\pi }{2}$. Giả sử $F\left( x \right)=ax+\sqrt{b}\cos x-\frac{\cos cx}{2}-d$. Chọn phát biểu đúng:
A. $a:b:c=1:2:1$.
B. $a+b+c=6$.
C. $a+b=3c$.
D. $a-b+c=d$.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có $F(x)=\int{\tan x\left( 2\cot x-\sqrt{2}\cos x+2{{\cos }^{2}}x \right)}=\int{\left( 2-\sqrt{2}\sin x+\sin 2x \right)dx}$
$=2x+\sqrt{2}\cos x-\frac{\cos 2x}{2}+C$ Mà $F\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow C=-1$ .
Do đó $F(x)=2x+\sqrt{2}\cos x-\frac{\cos 2x}{2}-1$
Câu 2. Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f(x)=1+2ax+3b{{x}^{2}}$. Biết $F\left( 1 \right)=1,F\left( -1 \right)=2,F\left( 2 \right)=3.$
A. $F(x)=x+\frac{23}{6}{{x}^{2}}-\frac{3}{2}{{x}^{3}}-\frac{7}{3}$.
B. $F(x)=x+\frac{1}{6}{{x}^{2}}-\frac{5}{6}{{x}^{5}}+\frac{2}{3}$.
C. $F(x)=3x+\frac{1}{6}{{x}^{2}}-\frac{3}{2}{{x}^{3}}-1$.
D. $F(x)=x+\frac{2}{3}{{x}^{2}}-\frac{3}{2}{{x}^{3}}+C$.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có $F(x)=\int{\left( 1+2ax+3b{{x}^{2}} \right)}dx=b{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+x+C$
Vì $F\left( 1 \right)=1\Rightarrow b+a+C=0$ ; $F\left( -1 \right)=2\Rightarrow -b+a+C=3$;$F\left( 2 \right)=1\Rightarrow 8b+4a+C=1$
Giải hệ phương trình ta được $b=-\frac{3}{2};a=\frac{23}{6};C=-\frac{7}{3}$. Do vậy $F(x)=-\frac{3}{2}{{x}^{3}}+\frac{23}{6}{{x}^{2}}+x-\frac{7}{3}$
Câu 3. Giả sử $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x-1$. Biết đồ thị của hàm số $F\left( x \right)$ và $f\left( x \right)$ cắt nhau và có một điểm nằm trên trục tung. Lúc đó, tọa độ các giao điểm của hai đồ thị .$f\left( x \right)$. và $F\left( x \right)$ là
A. $\left( 0;-1 \right)$.
B. $\left( 3;5 \right)$.
C. $\left( 0;-1 \right)$; $\left( 3;5 \right)$.
D. $\left( 0;-1 \right)$;$\left( 3;0 \right)$.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có $F(x)=\int{\left( 2x-1 \right)}dx={{x}^{2}}-x+C$
Xét phương trình ${{x}^{2}}-x+C=2x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+(C+1)=0\text{ }\left( * \right)$
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{{{x}^{3}}-2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$.
A. $F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-8 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$.
B. $F\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{2}}\sqrt{1+{{x}^{2}}}+8\sqrt{1+{{x}^{2}}}+C$.
C. $F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( 8-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$.
D. $F\left( x \right)=\frac{2}{3}\left( {{x}^{2}}-8 \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}+C$.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có $\int{\frac{{{x}^{3}}-2\text{x}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}d\text{x}=\int{\frac{\left( {{x}^{2}}-2 \right)x\text{dx}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{x}^{2}}={{t}^{2}}-1\Rightarrow xdx=tdt$.
Khi đó $\int{\frac{{{x}^{3}}-2\text{x}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}d\text{x}=\int{\frac{\left( {{t}^{2}}-3 \right)\left( tdt \right)}{t}=\int{\left( {{t}^{2}}-3 \right)dt=\frac{{{t}^{3}}}{3}-3t+C}}$
$=\frac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}}{3}-3\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C=\frac{1}{3}\left( {{x}^{2}}-8 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x)=\cos 2x\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \right)$.
A. $\int{f(x).dx=}\sin 2x-\frac{1}{4}{{\sin }^{3}}2x+C$
B. $\int{f(x).dx=}\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{12}{{\sin }^{3}}2x+C$.
C. $\int{f(x).dx=}\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{12}{{\sin }^{3}}2x+C$.
D. $\int{f(x).dx=}\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{4}{{\sin }^{3}}2x+C$.
Hướng dẫn giải
Chọn C
$\int{\cos 2x\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \right)dx}$$=\int{\cos 2x\left[ \left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x \right]dx}$
$\begin{array}{l} = \int {\cos 2x\left( {1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)dx} {\mkern 1mu} \\ = \int {\cos 2xdx} – \frac{1}{2}\int {{{\sin }^2}2x.\cos 2xdx} \\ = \int {\cos 2xdx} – \frac{1}{4}\int {{{\sin }^2}2x.d\left( {\sin 2x} \right)} \\ = \frac{1}{2}\sin 2x – \frac{1}{{12}}{\sin ^3}2x + C \end{array}$
Câu 6. Kết quả tính $\int{\frac{-{{x}^{3}}+5x+2}{4-{{x}^{2}}}dx}$ bằng
A.$\frac{{{x}^{2}}}{2}-\ln \left| 2-x \right|+C$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| 2-x \right|+C$.
C. $\frac{{{x}^{3}}}{3}-\ln \left| 2-x \right|+C$.
D. $\frac{{{x}^{3}}}{3}+\ln \left| x-2 \right|+C$.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì $\frac{-{{x}^{3}}+5x+2}{4-{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}-5x-2}{{{x}^{2}}-4}=\frac{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}=x-\frac{1}{x-2}$.
$\Rightarrow \int{\frac{-{{x}^{3}}+5x+2}{4-{{x}^{2}}}\text{d}x=\int{\left( x-\frac{1}{x-2} \right)\text{d}x}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}-\ln \left| x-2 \right|+C$