Phương pháp nguyên hàm từng phần là 1 trong những phương pháp quan trọng để giải những bài tập nguyên hàm phức tạp như hàm chứa mũ, logarit, lượng giác,… Nếu xuất hiện trong đề thi thì đây là bài toán này thuộc câu vận dụng cao (8+) nên để bạn hiểu hơn thì một bài viết lý thuyết là cần thiết nếu. Bài viết này được soạn ra là như vậy. Chúng ta cùng nhau tìm hiểu
Mục Lục
1. Công thức nguyên hàm từng phần tổng quát
Hãy tính nguyên hàm của hàm f(x) có dạng tổng quát như sau: $\int{f\left( x \right)dx}=\int{g\left( x \right).h\left( x \right)dx}$
Hướng dẫn
Để giải bài toán tổng quát này, bạn làm theo 2 bước dưới đây
Vậy là ta đã tìm được công thức tổng quát: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( x \right).h\left( x \right)dx} $
2. Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp
Khi gặp dạng toán này bạn sẽ đưa chúng về 4 dạng tổng quát sau đây
Dạng 1: Đề cho hàm số logarit
Dạng 2: Đề cho nguyên hàm mũ
Dạng 3: Đề cho nguyên hàm dạng lượng giác
Dạng 4: Đề cho nguyên hàm dạng kết hợp
Mỗi đơn vị kiến thức mới đều đòi hỏi người học phải bỏ thời gian gia chinh phục, tùy theo sở trường hay sở đoản của mỗi bạn mà thời gian bỏ ra là ít hay nhiều. Tuy nhiên nếu dành nhiều thời gian và công sức vào lý thuyết thì việc giải bài tập sẽ trở lên đơn giản nhất là ở phòng thi bởi khi đó bạn đã làm chủ kiến thức.
3. Bài tập vận dụng
Có thể lý thuyết bạn hiểu rõ nhưng chưa hẳn đã giải được mọi dạng toán liên quan bởi mỗi bài tập sẽ đòi hỏi những kĩ năng biến đổi riêng mặc dù nó đã có phương pháp ở trên. Bởi vậy nên bạn cần làm các ví dụ dưới đây ( mỗi ví dụ có lời giải để tiện bạn đối chiếu)
Trước tiên là 3 ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm $f\left( x \right) = \int {\ln \left( x \right)dx} $
Hướng dẫn
Ví dụ 2: Hãy tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác sau f(x) = x.sin(x)
Hướng dẫn
Ví dụ 3: Cho hàm số \[{f\left( x \right) = \sin x.{e^x}}\]. Hãy tìm nguyên hàm của hàm f(x)
Hướng dẫn
Và 6 bài tập kèm đáp án để bạn tiện kiểm tra khi làm bài
Bài tập 1: $\int{x{{e}^{\frac{x}{3}}}dx}$ bằng:
A. $3\left( x-3 \right){{e}^{\frac{x}{3}}}+C$
B. $\left( x+3 \right){{e}^{\frac{x}{3}}}+C$
C. $\frac{1}{3}\left( x-3 \right){{e}^{\frac{x}{3}}}+C$
D. $\frac{1}{3}\left( x+3 \right){{e}^{\frac{x}{3}}}+C$
Đáp án là A
Bài tập 2: $\int{x\ln xdx}$ bằng:
A. $\frac{{{x}^{2}}}{2}.\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{4}+C$
B. $\frac{{{x}^{2}}}{4}.\ln x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+C$
C. $-\frac{{{x}^{2}}\ln x}{4}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C$
D. $\frac{{{x}^{2}}}{2}.\ln x+\frac{{{x}^{2}}}{4}+C$
Đáp án là A
Bài tập 3: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int\limits_{{}}^{{}}{\cos 2x}.\ln (\sin x+\cos x)dx$ là:
A. F(x) = $\frac{1}{2}\left( 1+\sin 2x \right)\ln \left( 1+\sin 2x \right)-\frac{1}{4}\sin 2x+C$
B. F(x) = $\frac{1}{4}\left( 1+\sin 2x \right)\ln \left( 1+\sin 2x \right)-\frac{1}{2}\sin 2x+C$
C. F(x) = $\frac{1}{4}\left( 1+\sin 2x \right)\ln \left( 1+\sin 2x \right)-\frac{1}{4}\sin 2x+C$
D. F(x) = $\frac{1}{4}\left( 1+\sin 2x \right)\ln \left( 1+\sin 2x \right)+\frac{1}{4}\sin 2x+C$
Đáp án là C
Bài tập 4: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int{\left( x-2 \right)\sin 3xdx}$ là:
A. F(x) = $-\frac{\left( x-2 \right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$
B. F(x) = $\frac{\left( x-2 \right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$
C. F(x) = $-\frac{\left( x+2 \right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$
D. F(x) = $-\frac{\left( x-2 \right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{3}\sin 3x+C$
Đáp án là A
Bài tập 5: Nguyên hàm của hàm số: $I=\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{3}}\ln xdx}.$ là:
A. F(x) = $\frac{1}{4}{{x}^{4}}.\ln x+\frac{1}{16}{{x}^{4}}+C$
B. F(x) =$\frac{1}{4}{{x}^{4}}.{{\ln }^{2}}x-\frac{1}{16}{{x}^{4}}+C$
C. F(x) =$\frac{1}{4}{{x}^{4}}.\ln x-\frac{1}{16}{{x}^{3}}+C$
D. F(x) = $\frac{1}{4}{{x}^{4}}.\ln x-\frac{1}{16}{{x}^{4}}+C$
Đáp án là D
Bài tập 6: Tính $H=\int{x{{3}^{x}}dx}$
A. $H=\frac{{{3}^{x}}}{{{\ln }^{2}}3}(x\ln 3+1)+C$
B. $H=\frac{{{3}^{x}}}{{{\ln }^{2}}3}(x\ln 2-2)+C$
C. $H=\frac{{{3}^{x}}}{{{\ln }^{2}}3}(x\ln 3-1)+C$
D. Một kết quả khác
Đáp án là C
Bài tập 7: $F(x)=4\sin x+(4x+5){{e}^{x}}+1$ là một nguyên hàm của hàm số:
A. $f(x)=4\cos x+(4x+9){{e}^{x}}$
B. $f(x)=4\cos x-(4x+9){{e}^{x}}$
C. $f(x)=4\cos x+(4x+5){{e}^{x}}$
D. $f(x)=4\cos x+(4x+6){{e}^{x}}$
Đáp án là A.
Để làm tốt các bài tập nguyên hàm từng phần này bạn cần phải xem kĩ lý thuyết và bài tập có lời giải chi tiết ở trên. Các bước làm có thể đơn giản nhưng nó ẩn chứa nhiều thâm sâu bên trong nên chỉ có luyện tập thường xuyên mới giúp bạn mau hiểu ra, nhớ lâu kiến thức.