Bạn đã biết có bao nhiêu dạng bài tập tính đơn điệu của hàm số thường gặp trong đề thi toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia không? Bạn đã thành thạo các dạng đó chưa? Nếu chưa hay cùng theo dõi bài viết sau
Mục Lục
1. Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số
a) Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
b) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K
c) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Chú ý:
2. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu
Dạng 1: Đọc bảng biến thiên
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 1; + ∞)
B. ( 0; 2)
C. ( – 1; 0)
D. ( – 2; – 1)
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( – ∞; – 1) và ( 0; 1)
Do ( 2; – 1) ⊂ ( – ∞; – 1) nên hàm số đồng biến trên khoảng ( – 2; – 1)
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 1; + ∞)
B. ( – ∞; + ∞)
C. ( 3; 4)
D. ( 2; +∞)
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( – ∞; 3) và ( 3; + ∞)
Mà ( 3; 4) ⊂ ( 3; +∞) nên trên khoảng ( 3; 4) hàm số đồng biến
Chọn C.
Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số (không chứa tham số)
Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{1-x}$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn D.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y’=\frac{2}{{{(1-x)}^{2}}}>0\text{, }\forall x\ne 1$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$và $(1;+\infty )$
Câu 2. Hỏi hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+5x-2$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(5;+\infty )$
B. $\left( 2;3 \right)$
C. $\left( -\infty ;1 \right)$
D. $\left( 1;5 \right)$
Lời giải
Chọn D.
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$.
$y’ = {x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Trên khoảng$\left( 1;5 \right),\text{ }y'<0$ nên hàm số nghịch biến
Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{x-m+2}{x+1}$ giảm trên các khoảng mà nó xác định ?
A. $m<-3$.
B. $m\le -3$.
C. $m\le 1$.
D. $m<1$.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$. Ta có ${y}’=\frac{m-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định $\Leftrightarrow {y}'<0,\forall x\ne -1\Leftrightarrow m<1$
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-(m+1)+2m-1}{x-m}$ tăng trên từng khoảng xác định của nó?
A. $m>1$.
B. $m\le 1$.
C. $m<1$.
D. $m\ge 1$.
Lời giải
Chọn B.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có ${y}’=\frac{{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1}{{{(x-m)}^{2}}}$
Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow {y}’\ge 0,\,\,\forall x\in D\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1\ge 0,\forall x\in D$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 \geqslant 0\,(hn) \hfill \\ m – 1 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m \leqslant 1$
Dạng 4. Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước
Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{{mx – 4}}{{x – m}}$( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0; +∞)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Lời giải
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{mx – 9}}{{x – m}}$ ( m là tham số thực). Tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm số đã
cho đồng biến trên khoảng ( 1; +∞)
A. – 3
B. – 2
C. – 5
D. 4
Lời giải
3. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Câu 1. Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
D. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Câu 2. Cho hàm số$y=\frac{3x-1}{-4+2x}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$và $\left( 2;+\infty \right)$.
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,-2 \right)$ và$\left( -2;+\infty \right)$.
Câu 3. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $h(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4$.
B. $g(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+1$.
C. $f(x)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x$.
D. $k(x)={{x}^{3}}+10x-{{\cos }^{2}}x$.
Câu 4. Hỏi hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+5}{x+1}$ nghịch biến trên các khoảng nào ?
A. $(-\infty ;-4)$và $(2;+\infty )$.
B. $\left( -4;2 \right)$.
C. $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( -1;+\infty \right)$.
D. $\left( -4;-1 \right)$ và $\left( -1;2 \right)$.
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ giảm trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$?
A. $-2<m<2$.
B. $-2\le m\le -1$.
C. $-2<m\le -1$.
D. $-2\le m\le 2$.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$?
A. $m\le 0$.
B. $m\le 12$.
C. $m\ge 0$.
D. $m\ge 12$.
Bài viết hướng dẫn bạn giải bài tập thuộc chủ đề tính đơn điệu của hàm số lớp 12 đến đây tạm dừng. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được cho bạn. Chúc bạn học tốt.